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数学里的分数是什么?是测量,音乐和数学千丝万缕的联系

电脑技术  2023/1/3 12:11:00  老贾27号   访问量 支持 中立 反对

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此主题内容最后修改日期:2023 - 01 - 03 12:16:50

爱因斯坦说:“这个世界是由音乐的音符组成的,也是由数学公式组成的。音符加数学公式,就是真正完整的世界。”



数学中分数的真实含义是什么?像2/3这样的数就叫做分数了,分数的本质含义就是测量。

如果一个数能够用分数表示,就表示这是一个可以测量的数,比如2/3这个数,就是先把一整段平分成3段,然后用其中的一段作为基本单位,测量得2,也就是说有2个基本单位1/3,这就是2/3的含义了。



几千年前的古代数学家,比如毕达哥拉斯,他理解了分数的道理,就开始吹牛了,他说只要给出一个足够小的基本单位,他就能用测量世界万物,可是他牛鼻吹过头了,紧接着他就遇到了无论如何也无法测量的长度量。

自然数和分数都是可以测量的数(自然数其实也是特殊的分数),但后来人们发现边长可测量(比如边长为1)的正方形,其对角线不可测量,就是说你无论给出多么微小的基本单位,也无法用此极为微小的基本单位来测量,人们把这种不能测量的数叫做实在是没有道理的数,简称无理数,也就是说当时把无法用分数表达的那些数叫做无理数。



在很早以前的“七艺”,即文法、修辞、辩证法、算数、几何、天文、音乐,音乐是被当成“理科”来看待的,和数学是一类的。早期的古希腊包括中世纪时期的作曲家和理论家,都是被当作科学家来看待的。

早期的音乐被分为两类,一种是纯粹的音乐理论,另一种则是表演方法,音乐的纯理论方面则几乎与数学重合。

古希腊的毕达哥拉斯学派,利用那个时期所有的数学工具:有理数和分数。在绝大多数情况下,如果两个声音的频率的比接近于简单的整数比1:1、2:3、3:4等这样的简单分数,那么这样的声音便会非常动听。这个律学系统叫做“纯律”。



欧拉写下了《音乐新理论的尝试》,他试图把数学和音乐结合起来,有人称该书是一部专门为“精通数学的音乐家”和“精通音乐的数学家”而写的著作。



我们今天在网络上听到的各种乐器的声音,大部分都是用“数学理论”和“算法”调制出来的,有的音色甚至达到了以假乱真的效果。



音乐本身就是建立在数学规律基础上的,可以说音乐是数学理论的某种物理表现形式。喜欢数学的同学,通常也都会喜欢音乐。

“音程之比越简单,和声越和谐。这是真的吗?”毕达哥拉斯反躬自问道。“宇宙和谐”信念已从直觉上暗示了他,但他仍然决定反复实验来验证。

《物理学发展史》中,物理学家乔治·伽莫夫评价琴弦定律:“这一发现大概是物理定律的第一次数学公式表明,完全可以认为是今天所谓理论物理学发展的第一步。”

当琴弦的长度为2:1的时候,可产生八度音。当琴弦的长度为3:2的时候,可产生五度音。当琴弦长度为4:3的时候,可产生四度音。毕达哥拉斯发现,这些简单的数字比例能构成一个音阶所需要的所有音。



毕达哥拉斯率先实现了数学证明,说明了宇宙的运行规律并不需要神的存在,因为仅利用无懈可击的逻辑推理(逻辑主要归功于稍晚的希腊哲学家苏格拉底、柏拉图和亚里士多德)就能完全确定命题的正确或错误。今天的数学和科学的方法几乎全基于此。

毕达哥拉斯认为宇宙就是一个数学系统,如果有上帝的话,上帝就是个数学家,“万物皆数”。他认为数能解释并主宰宇宙万物。



在今天,所有现实世界的一切都被数字化转型,数据正在成为一种新的“信仰”,毕达哥拉斯恐怕是最有资格成为这个“拜数据教”的“教主”。

毕达哥拉斯派是非常玄的神秘派,他定了很多莫名其妙的规矩:

禁食豆子。
东西落下了,不要用手拣起来。
不要迈过门闩。
不要吃整个的面包。
不要坐在斗上。
不要吃心。
房里不许有燕子。
不要在光亮的旁边照镜子。
等等。。。




三分损益律,我国春秋中期管仲撰写的《管子·地员篇》中提出的 “三分损益律” 是我国,也是世界上最早的音律学文献。“三分损益律” 的原文为:

“凡将起五音凡首,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首以成宫。三分而益之以一,为百有八,为徵。不无有三分而去其乘,适足以生商。有三分而复于其所,以是生羽。有三分去其乘,适足以是成角。”

文中先定义“宫”音的弦长。将弦长增加三分之一称为 “三分而益之以一”,减少三分之一称为 “三分而去其乘”。陆续生成 “徵、商、羽、角”。作为中国古代五声音阶的 5 个音调符号。



对以上文字分句解释如下:

“先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首以成宫。” 是指黄钟宫音的弦长为 34=9×9=81。

“三分而益之以一,为百有八,为徵。” 是指徵音的弦长为 81×4/3=108。

“不无有三分而去其乘,适足以生商。” 是指商音的弦长为 108×2/3=72。

“有三分而复于其所,以是生羽。” 是指羽音的弦长为 72×4/3=96。

“有三分去其乘,适足以是成角。” 是指角音的弦长为 96×2/3=64。



音    徵(G)   羽(A)   宫(C)   商(D)   角(E)   徵*(G*)

弦长   108    96    81    72    64    54

音程      9/8    32/27    9/8    9/8   32/27

因为分数而杀人的事件:

毕达哥拉斯坚信,世界上的数字均可以用整数或者整数之比(即分数)来表示。但是毕达哥拉斯的学生之一希帕索斯(Hippasus)却发现,若根据勾股定理计算边长为1的正方形的对角线,其值(√2)不能用任何一个整数之比来表示,这是人类发现的第一个无理数。

这一发现触犯了毕达哥拉斯学派的信条,希帕索斯后被毕达哥拉斯投海溺毙。这次事件被称作数学历史上的第一次危机,它否定了一切数都是有理数的结论。



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